Deteksi Dan Koreksi Error

Sebagai akibat proses-proses fisika yang menyebabkannya terjadi, error pada beberapa media (misalnya, radio) cenderung timbul secara meletup (burst) bukannya satu demi satu. Error yang meletup seperti itu memiliki baik keuntungan maupun kerugian pada error bit tunggal yang terisolasi. Sisi keuntungannya, data komputer selalu dikirim dalam bentuk blok-blok bit. Anggap ukuran blok sama dengan 1000 bit, dan laju error adalah 0,001 per bit. Bila error-errornya independen, maka sebagian besar blok akan mengandung error. Bila error terjadi dengan letupan 100, maka hanya satu atau dua blok dalam 100 blok yang akan terpengaruh, secara rata-ratanya. Kerugian error letupan adalah bahwa error seperti itu lebih sulit untuk dideteksi dan dikoreksi dibanding dengan error yang terisolasi.

Kode-kode Pengkoreksian Error

Para perancang jaringan telah membuat dua strategi dasar yang berkenaan dengan error. Cara pertama adalah dengan melibatkan informasi redundan secukupnya bersama-sama dengan setiap blok data yang dikirimkan untuk memungkinkan penerima menarik kesimpulan tentang apa karakter yang ditransmisikan yang seharusnya ada. Cara lainnya adalah dengan hanya melibatkan redundansi secukupnya untuk menarik kesimpulan bahwa suatu error telah terjadi, dan membiarkannya untuk meminta pengiriman ulang. Strategi pertama menggunakan kode-kode pengkoreksian error (error-correcting codes), sedangkan strategi kedua menggunakan kode-kode pendeteksian error (error-detecting codes).

Untuk bisa mengerti tentang penanganan error, kita perlu melihat dari dekat tentang apa yang disebut error itu. Biasanya, sebuah frame terdiri dari m bit data (yaitu pesan) dan r redundan, atau check bits. Ambil panjang total sebesar n (yaitu, n=m+r). Sebuah satuan n-bit yang berisi data dan checkbit sering kali dikaitkan sebagai codeword n-bit.

Ditentukan dua buah codeword: 10001001 dan 10110001. Disini kita dapat menentukan berapa banyak bit yang berkaitan berbeda. Dalam hal ini, terdapat 3 bit yang berlainan. Untuk menentukannya cukup melakukan operasi EXCLUSIVE OR pada kedua codeword, dan menghitung jumlah bit 1 pada hasil operasi. Jumlah posisi bit dimana dua codeword berbeda disebut jarak Hamming (Hamming, 1950). Hal yang perlu diperhatikan adalah bahwa bila dua codeword terpisah dengan jarak Hamming d, maka akan diperlukan error bit tunggal d untuk mengkonversi dari yang satu menjadi yang lainnya.

Pada sebagian besar aplikasi transmisi data, seluruh 2^m pesan data merupakan data yang legal. Tetapi sehubungan dengan cara penghitungan check bit, tidak semua 2ⁿ digunakan. Bila ditentukan algoritma untuk menghitung check bit, maka akan dimungkinkan untuk membuat daftar lengkap codeword yang legal. Dari daftar ini dapat dicari dua codeword yang jarak Hamming-nya minimum. Jarak ini merupakan jarak Hamming bagi kode yang lengkap.

Sifat-sifat pendeteksian error dan perbaikan error suatu kode tergantung pada jarak Hamming-nya. Untuk mendeteksi d error, anda membutuhkan kode dengan jarak d+1 karena dengan kode seperti itu tidak mungkin bahwa error bit tunggal d dapat mengubah sebuah codeword yang valid menjadi codeword valid lainnya. Ketika penerima melihat codeword yang tidak valid, maka penerima dapat berkata bahwa telah terjadi error pada transmisi. Demikian juga, untuk memperbaiki error d, anda memerlukan kode yang berjarak 2d+1 karena hal itu menyatakan codeword legal dapat terpisah bahkan dengan perubahan d, codeword orisinil akan lebih dekat dibanding codeword lainnya, maka perbaikan error dapat ditentukan secara unik.

Sebagai sebuah contoh sederhana bagi kode pendeteksian error, ambil sebuah kode dimana parity bit tunggal ditambahkan ke data. Parity bit dipilih supaya jumlah bit-bit 1 dalam codeword menjadi genap (atau ganjil). Misalnya, bila 10110101 dikirimkan dalam parity genap dengan menambahkan sebuah bit pada bagian ujungnya, maka data itu menjadi 101101011, sedangkan dengan parity genap 10110001 menjadi 101100010. Sebuah kode dengan parity bit tunggal mempunyai jarak 2, karena sembarang error bit tunggal menghasilkan sebuah codeword dengan parity yang salah. Cara ini dapat digunakan untuk mendeteksi erro-error tunggal.

Sebagai contoh sederhana dari kode perbaikan error, ambil sebuah kode yang hanya memiliki empat buah codeword valid :

0000000000,0000011111,1111100000 dan 1111111111

Kode ini mempunyai jarak 5, yang berarti bahwa code tersebut dapat memperbaiki error ganda. Bila codeword 0000011111 tiba, maka penerima akan tahun bahwa data orisinil seharusnya adalah 0000011111. Akan tetapi bila error tripel mengubah 0000000000 menjadi  0000000111, maka error tidak akan dapat diperbaiki.

Bayangkan bahwa kita akan merancang kode dengan m bit pesan dan r bit check yang akan memungkinkan semua error tunggal bisa diperbaiki. Masing-masing dari 2^m pesan yang legal membutuhkan pola bit n+1. Karena jumlah total pola bit adalah 2ⁿ, kita harus memiliki (n+1)2^m £ 2ⁿ.

Dengan memakai n = m + r, persyaratan ini menjadi (m + r + 1)£2^r. Bila m ditentukan, maka ini akan meletakkan batas bawah pada jumlah bit check yang diperlukan untuk mengkoreksi error tunggal.

Dalam kenyataannya, batas bawah teoritis ini dapat diperoleh dengan menggunakan metoda Hamming (1950). Bit-bit codeword  dinomori secara berurutan, diawali dengan bit 1 pada sisi paling kiri. Bit bit yang merupakan pangkat 2 (1,2,4,8,16 dan seterusnya) adalah bit check. Sisanya (3,5,6,7,9 dan seterusnya) disisipi dengan m bit data. Setiap bit check memaksa parity sebagian kumpulan bit, termasuk dirinya sendiri,  menjadi genap (atau ganjil). Sebuah bit dapat dimasukkan dalam beberapa komputasi parity. Untuk mengetahui bit check dimana bit data pada posisi k berkontribusi, tulis ulang k sebagai jumlahan pangkat 2. Misalnya, 11=1+2+8 dan 29=1+4+8+16. Sebuah bit dicek oleh bit check yang terjadi pada ekspansinya (misalnya, bit 11 dicek oleh bit 1,2 dan 8).

Ketika sebuah codeword tiba, penerima menginisialisasi counter ke nol. Kemudian codeword memeriksa setiap bit check, k (k=1,2,4,8,....) untuk melihat apakah bit check tersebut mempunyai parity yang benar. Bila tidak, codeword akan menambahkan k ke counter. Bila counter sama dengan nol setelah semua bit check diuji (yaitu, bila semua bit checknya benar), codeword akan diterima sebagai valid. Bila counter tidak sama dengan nol, maka pesan mengandung sejumlah bit yang tidak benar. Misalnya bila bit check 1,2, dan 8 mengalami kesalahan (error), maka bit inversinya adalah 11, karena itu hanya satu-satunya yang diperiksa oleh bit 1,2, dan 8. Gambar 3.10 menggambarkan beberapa karakter ASCII 7-bit yang diencode sebagai codeword 11 bit dengan menggunakan kode Hamming. Perlu diingat bahwa data terdapat pada posisi bit 3,5,6,7,9,10,11.

Gambar 3.10 Penggunaan kode Hamming untuk mengkoreksi burst error

Kode Hamming hanya bisa memperbaiki error tunggal. Akan tetapi, ada trick yang dapat digunakan untuk memungkinkan kode Hamming dapat memperbaiki error yang meletup. Sejumlah k buah codeword yang berurutan disusun sebagai sebuah matriks, satu codeword per baris. Biasanya, data akan ditransmisikan satu baris codeword sekali, dari kiri ke kanan. Untuk mengkoreksi error yang meletup, data harus ditransmisikan satu kolom sekali, diawali dengan kolom yang paling kiri. Ketika seluruh k bit telah dikirimkan, kolom kedua mulai dikirimkan, dan seterusnya. Pada saat frame tiba pada penerima, matriks direkonstruksi, satu kolom per satuan waktu. Bila suatu error yang meletup terjadi, paling banyak 1 bit pada setiap k codeword akan terpengaruh. Akan tetapi kode Hamming dapat memperbaiki satu error per codeword, sehingga seluruh blok dapat diperbaiki. Metode ini memakai kr bit check untuk membuat km bit data dapat immune terhadap error tunggal yang meletup dengan panjang k atau kurang.

Kode-kode Pendeteksian Kesalahan

Kode pendeteksian error kadang kala digunakan dalam transmisi data. Misalnya, bila saturan simplex, maka transmisi ulang tidak bisa diminta. Akan tetapi sering kali deteksi error yang diikuti oleh transmisi ulang lebih disenangi. Hal ini disebabkan karena pemakaian transmisi ulang lebih efisien. Sebagai sebuah contoh yang sederhana, ambil sebuah saluran yang errornya terisolasi dan mempunyai laju error 10 –6 per bit.

Anggap ukuran blok sama dengan 1000 bit. Untuk melaksanakan koreksi error blok 1000 bit, diperlukan 10 bit check; satu megabit data akan membutuhkan 10.000 bit check. Untuk mendeteksi sebuah blok dengan error tunggal 1-bit saja, sebuah bit parity per blok akan mencukupi. Sekali setiap 1000 blok dan blok tambahan (1001) akan harus ditransmisikan. Overhead total bagi deteksi error + metoda transmisi ulang adalah hanya 2001 bit per megabit data, dibanding 10.000 bit bagi kode Hamming.

Bila sebuah bit parity tunggal ditambahkan ke sebuah blok dan blok dirusak oleh error letupan yang lama, maka probabilitas error dapat untuk bisa dideteksi adalah hanya 0,5 hal yang sangat sulit untuk bisa diterma. Bit-bit ganjil dapat ditingkatkan cukup banyak dengan mempertimbangkan setiap blok yang akan dikirim sebagai matriks persegi panjang dengan lebar n bit dan tinggi k bit. Bit parity dihitung secara terpisah bagi setiap kolomnya dan ditambahkan ke matriks sebagai baris terakhir. Kemudian matriks ditransmisikan kembali baris per baris. Ketika blok tiba, penerima akan memeriksa semua bit parity, Bila ada bit parity yang salah, penerima meminta agar blok ditransmisi ulang.

Metoda ini dapat mendeteksi sebuah letupan dengan panjang n, karena hanya 1 bit per kolom yang akan diubah. Sebuah letupan dengan panjang n+1 akan lolos tanpa terdeteksi. Akan tetapi bila bit pertama diinversikan, maka bit terakhir juga akan diinversikan, dan semua bit lainnya adalah benar. (Sebuah error letupan tidak berarti bahwa semua bit salah; tetapi mengindikasikan bahwa paling tidak bit pertama dan terakhirnya salah). Bila blok mengalami kerusakan berat akibat terjadinya error letupan yang panjang atau error letupan pendek yang banyak, maka probabilitas bahwa sembarang  n  kolom akan mempunyai parity yang benar adalah 0,5. Sehingga probabilitas dari blok yang buruk akan bisa diterima adalah 2 ^–n.

Walaupun metoda di atas kadang-kadang adekuat, pada prakteknya terdapat metode lain yang luas digunakan: Kode polynomial (dikenal juga sebagai cyclic redundancy code atau kode CRC). Kode polynomial didasarkan pada perlakuan string-string bit sebagai representatsi polynomial dengan memakai hanya koefisien 0 dan 1 saja. Sebuah frame k bit berkaitan dengan daftar koefisien bagi polynomial yang mempunyai k suku, dengan range dari x^k-1 sampai x⁰. Polynomial seperti itu disebut polynomial yang bertingkat k-1. Bit dengan orde tertinggi (paling kiri) merupakan koefisien dari x^k-1; bit berikutnya merupakan koefisien dari x^k-2, dan seterusnya. Misalnya 110001 memiliki 6 bit, maka merepresentasikan polynomial bersuku 6 dengan koefisien 1,1,0,0,0 dan 1:x⁵+x⁴+x⁰.

Aritmetika polynomial dikerjakan dengan modulus 2, mengikuti aturan teori aljabar. Tidak ada pengambilan untuk pertambahan dan peminjaman untuk pengurangan. Pertambahan dan pengurangan identik dengan EXCLUSIVE OR, misalnya :

Gambar 3.11 Pertambahan dengan EXOR

Pembagian juga diselesaikan dengan cara yang sama seperti pada pembagian bilangan biner, kecuali pengurangan dikerjakan berdasarkan modulus 2. Pembagi dikatakan “masuk ke” yang dibagi bila bilangan yang dibagi mempunyai bit sebanyak bilangan pembagi.

Saat metode kode polynomial dipakai, pengirim dan penerima harus setuju terlebih dahulu tentang polynomial generator, G(x). Baik bit orde tinggi maupun bit orde rendah dari generator harus mempunyai harga 1. Untuk menghitung checksum bagi beberapa frame dengan m bit, yang berkaitan dengan polynomial M(x), maka frame harus lebih panjang dari polynomial generator. Hal ini untuk menambahkan checksum  keakhir frame sedemikian rupa sehingga polynomial yang direpresentasikan oleh frame berchecksum dapat habis dibagi oleh G(x). Ketika penerima memperoleh frame berchecksum, penerima mencoba membaginya dengan G(x). Bila ternyata terdapat sisa pembagian, maka dianggap telah terjadi error transmisi.

Algoritma untuk perhitungan checksum adalah sebagai berikut :

1.       Ambil r sebagai pangkat G(x), Tambahkan bit nol r ke bagian orde rendah dari frame, sehingga sekarang berisi m+r bit dan berkaitan dengan polynomial xrM(x).

2.       Dengan menggunakan modulus 2, bagi string bit yang berkaitan dengan G(x) menjadi string bit yang berhubungan dengan xrM(x).

3.       Kurangkan sisa (yang selalu bernilai r bit atau kurang) dari string bit yang berkaitan dengan xrM(x) dengan menggunakan pengurangan bermodulus 2. Hasilnya merupakan frame berchecksum yang akan ditransmisikan. Disebut polynomial T(x).

Gambar 3-12 menjelaskan proses perhitungan untuk frame 1101011011 dan G(x) = x⁴ + x + 1.

Jelas bahwa T(x) habis dibagi (modulus 2) oleh G(x). Dalam sembarang masalah pembagian, bila anda mengurangi angka yang dibagi dengan sisanya, maka yang  akan tersisa adalah angka yang dapat habis dibagi oleh pembagi. Misalnya dalam basis 10, bila anda membagi 210.278 dengan 10.941, maka sisanya 2399. Dengan mengurangkan 2399 ke 210.278, maka yang bilangan yang tersisa (207.879) habis dibagi oleh 10.941.

Sekarang kita menganalisis kekuatan metoda ini. Error jenis apa yang akan bisa dideteksi ? Anggap terjadi error pada suatu transmisi, sehingga bukannya string bit untuk T(x) yang tiba, akan tetapi T(x) + E(X). Setiap bit 1 pada E(x) berkaitan dengan bit yang telah diinversikan. Bila terdapat k buah bit 1 pada E(x), maka k buah error bit tunggal telah terjadi. Error tunggal letupan dikarakterisasi oleh sebuah awalan 1, campuran 0 dan 1, dan sebuah akhiran 1, dengan semua bit lainnya adalah 0.

Begitu frame berchecksum diterima, penerima membaginya dengan G(x); yaitu, menghitung [T(x)+E(x)]/G(x). T(x)/G(x) sama dengan 0, maka hasil perhitungannya adalah E(x)/G(x). Error seperti ini dapat terjadi pada polynomial yang mengandung G(x) sebagai faktor yang akan mengalami penyimpangan, seluruh error lainnya akan dapat dideteksi.

Bila terdapat error bit tunggal, E(x)=xⁱ, dimana i menentukan bit mana yang mengalami error. Bila G(x) terdiri dari dua suku atau lebih, maka x tidak pernah dapat habis membagi E(x), sehingga seluruh error dapat dideteksi.

Gambar 3-12.Perhitungan checksum kode polynomial

Bila terdapat dua buah error bit-tunggal yang terisolasi, E(x)=xⁱ+x^j, dimana i > j. Dapat juga dituliskan sebagai E(x)=x^j(x^i-j + 1). Bila kita mengasumsikan bahwa G(x) tidak dapat dibagi oleh x, kondisi yang diperlukan untuk dapat mendeteksi semua error adalah bahwa G(x)  tidak dapat habis membagi x^k+1 untuk sembarang harga k sampai nilai maksimum i-j (yaitu sampai panjang frame maksimum). Terdapat polynomial sederhana atau berorde rendah yang memberikan perlindungan bagi frame-frame yang panjang. Misalnya, x¹⁵+x¹⁴+1 tidak akan habis membagi x^k+1 untuk sembarang harga k yang kurang dari 32.768.

Bila terdapat jumlah bit yang ganjil dalam error, E(x) terdiri dari jumlah suku yang ganjil (misalnya,x⁵+x²+1, dan bukannya x²+1). Sangat menarik, tidak terdapat polynomial yang bersuku ganjil yang mempunyai x + 1 sebagai faktor dalam sistem modulus 2. Dengan membuat x + 1 sebagai faktor G(x), kita akan mendeteksi semua error yang terdiri dari bilangan ganjil dari bit yang diinversikan.

Untuk mengetahui bahwa polynomial yang bersuku ganjil dapat habis dibagi oleh x+1, anggap bahwa E(x) mempunyai suku ganjil dan dapat habis dibagi oleh x+1. Ubah bentuk E(x) menjadi (x+1)Q(x). Sekarang evaluasi E(1) = (1+1)Q(1). Karena 1+1=0 (modulus 2), maka E(1) harus nol. Bila E(x) mempunyai suku ganjil, pensubtitusian 1 untuk semua harga x akan selalu menghasilkan 1. Jadi tidak ada polynomial bersuku ganjil yang habis dibagi oleh x+1.

Terakhir, dan yang terpenting, kode polynomial dengan r buah check bit akan mendeteksi semua error letupan yang memiliki panjang <=r. Suatu error letupan dengan panjang k dapat dinyatakan oleh xⁱ(x^k-1 + .....+1), dimana i menentukan sejauh mana dari sisi ujung kanan frame yang diterima letupan itu ditemui. Bila G(x) mengandung suku x⁰, maka G(x) tidak akan memiliki xⁱ sebagai faktornya. Sehingga bila tingkat ekspresi yang berada alam tanda kurung kurang dari tingkat G(x), sisa pembagian tidak akan pernah berharga nol.

Bila panjang letupan adalah r+1, maka sisa pembagian oleh G(x) akan nol bila dan hanya bila letupan tersebut identik dengan G(x). Menurut definisi letupan, bit awal dan bit akhir harus 1, sehingga apakah bit itu akan sesuai tergantung pada bit pertengahan r-1. Bila semua kombinasi adalah sama dan sebanding, maka probabilitas frame yang tidak benar yang akan diterima sebagai frame yang valid adalah ½ ^r-1.

Dapat juga dibuktikan bahwa bila letupan error yang lebih panjang dari bit r+1 terjadi, maka probabilitas frame buruk untuk melintasi tanpat peringatan adalah 1/2^r yang menganggap bahwa semua pola bit adalah sama dan sebanding.

Tiga  buah polynomial telah menjadi standard internasional:

§  CRC-12              = X¹² + X¹¹ + X³ + X² + X¹ + 1

§  CRC-16              = X¹⁶ + X¹⁵ + X² + 1

§  CRC-CCITT      = X¹⁶ + X¹² + X⁵ + 1

Ketiganya mengandung x+1 sebagai faktor prima.CRC-12  digunakan bila panjang karakternya sama dengan 6 bit. Dua polynomial lainnya menggunakan karakter 8 bit. Sebuah checksum 16 bit seperti CRC-16 atau CRC-CCITT, mendeteksi semua error tunggal dan error ganda, semua error dengan jumlah bit ganjil, semua error letupan yang mempunyai panjang 16 atau kurang, 99,997 persen letupan error 17 bit, dan  99,996 letupan 18 bit atau lebih panjang.